somme de gauss

a (en) Eric W. Weisstein, « Gaussian Sum », sur MathWorld. b p c La dernière modification de cette page a été faite le 10 février 2019 à 10:56. 2 L'application de Fp* dans H qui à tout élément associe son carré est une application surjective telle que toute image admet exactement deux antécédents ; en conséquence : Or ψ est un caractère non trivial donc — comme dans la démonstration du § « Propriétés » — la somme 1 + P1 + P2 de ses valeurs est nulle, ce qui permet de conclure : Le corollaire du § « Propriétés » termine la démonstration. G ( χ , ψ m ) = 1 χ ( m ) G ( χ , ψ ) . p ( ) {\displaystyle an^{2}+bn} Ces objets sont nommés d'après Carl Friedrich Gauss, qui les a étudiés longuement et les a appliqués aux lois de réciprocité quadratique, cubique et biquadratique (en). Sommes quadratiques de Gauss généralisées. n Sans le savoir encore, Gauss a découvert la formule permettant de calculer la somme des termes d’une série arithmétique. ( File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php b L'anneau ℤ[ω] contient τ ; calculons alors de deux façons la classe de τq–1 dans l'anneau quotient ℤ[ω]/qℤ[ω]. ) Soit ψ un caractère du groupe additif (Fp, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif (Fp*, ∙), alors la somme de Gauss associée à χ et ψ est le nombre complexe, ici noté G(χ, ψ) et défini par : En termes de transformée de Fourier, on peut considérer l'application qui à χ associe G(χ−1, ψ) comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à Fp par l'égalité χ(0) = 0 et l'application qui à ψ associe G(χ−1, ψ) comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à Fp*. L'analyse harmonique permet de nombreux calculs sur les sommes de Gauss ; ce paragraphe propose quelques exemples. G On peut par exemple le prouver comme suit : en raison de la propriété multiplicative des sommes de Gauss, il suffit de montrer que Elles sont utilisées dans la théorie des polynômes cyclotomiques et possèdent de nombreuses applications.[réf. ( Par un argument de comptage, = Line: 208 Les valeurs des sommes de Gauss pour b = 0 et pgcd(a, c) = 1 sont explicitement données par la célèbre formule de Gauss : où  ) G ( a , b , c ) = ∑ n = 0 c − 1 exp ⁡ ( 2 π i a n 2 + b n c ) {\displaystyle G (a,b,c)=\sum _ {n=0}^ {c-1}\exp \left (2\pi \mathrm {i} {\frac {an^ {2}+bn} {c}}\right)} . ψ Soit p un nombre premier impair et a un entier. Line: 192 c Plus généralement, Gauss a démontré en 1801 les égalités suivantes au signe près pour tout entier n > 0 : conjecturant alors que même les signes étaient exacts pour ce choix particulier ω = exp(2πi/n), et ce n'est qu'au bout de quatre ans d'efforts incessants qu'il est parvenu à résoudre cette conjecture[1],[2],[3]. 4 Line: 478 a {\displaystyle an^{2}+bn+q=0} L'anneau ℤ[ω] contient τ ; calculons alors de deux façons la classe de τq–1 dans l'anneau quotient ℤ[ω]/qℤ[ω]. Line: 107 ( ∑ ( Line: 479 Z n 0 {\displaystyle G (\chi ,\psi ^ {m})= {\frac {1} {\chi (m)}}G (\chi ,\psi ).} +  est le symbole de Legendre, qui est un caractère quadratique mod p. Une formule analogue avec un caractère général χ à la place du symbole de Legendre définit la somme de Gauss G(χ). , . + . c Function: view, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/index.php n Comme autre exemple, si 4 divise c et si b est impair et pgcd(a, c) = 1, alors G(a, b, c) = 0. Elles sont utilisées dans la théorie des polynômes cyclotomiques et possèdent de nombreuses applications.[réf. L'application de Fp* dans H qui à tout élément associe son carré est une application surjective telle que toute image admet exactement deux antécédents ; en conséquence : Or ψ est un caractère non trivial donc — comme dans la démonstration du § « Propriétés » — la somme 1 + P1 + P2 de ses valeurs est nulle, ce qui permet de conclure : Le corollaire du § « Propriétés » termine la démonstration. G Sommes quadratiques de Gauss généralisées, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Somme_quadratique_de_Gauss&oldid=161416843, Article contenant un appel à traduction en anglais, Article contenant un appel à traduction en allemand, Portail:Arithmétique et théorie des nombres/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, L'évaluation de la somme de Gauss peut être réduite au cas, La valeur exacte de la somme de Gauss, calculée par Gauss, est donnée par la formule, Les sommes de Gauss sont multiplicatives au sens suivant : étant donnés des entiers naturels. ψ ( {\displaystyle 0\leq n 0 : conjecturant alors que même les signes étaient exacts pour ce choix particulier ω = exp(2πi/n), et ce n'est qu'au bout de quatre ans d'efforts incessants qu'il est parvenu à résoudre cette conjecture[1],[2],[3]. ) Function: require_once, Message: Undefined variable: user_membership, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_modal.php 0 si k ≥ 2 et p est un nombre premier impair ou si k ≥ 4 et p = 2. n 2 Z ) p si n > 1 et a, b sont impairs et pgcd(a, c) = 1. Notons τ = G(μ, ψ) et ω = ψ(1). En effet, la définition d'une somme de Gauss implique : G ( χ , ψ m ) = ∑ k ∈ F p ∗ χ ( k ) ψ ( m k ) . b ( Une somme quadratique de Gauss peut être interprétée comme une combinaison linéaire des valeurs de la fonction exponentielle complexe avec des coefficients donnés par un caractère quadratique ; pour un caractère général, on obtient une somme de Gauss plus générale. a 0 La formule de la somme géométrique montre alors que  2 Ainsi, dans l'évaluation des sommes quadratiques de Gauss, on peut toujours supposer pgcd(a, c) = 1. de deux façons différentes) est. Pour toute racine p-ième de l'unité ω différente de 1, avec p premier. ( ( Il fait : 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 … 50 + 51 =101 soit 100 x 101 = 10100 et 10100 : 2 = 5050 car la suite est comptée deux fois. 1 = La formule du binôme de Newton et les diviseurs des coefficients binomiaux montrent que modulo q, Or la première des deux propriétés des sommes de Gauss montre que, et le corollaire de la seconde, joint aux propriétés du symbole de Legendre, que. a Elles ont été introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801. − {\displaystyle G (\chi ,\psi ^ {m})=\sum _ {k\in \mathbb {F} _ {p}^ {*}}\chi (k)\psi (mk).} {\displaystyle 4\psi (a)a\equiv 1{\bmod {c}}} n On raconte qu'entre 7 et 10 ans, Karl Gauss, mathématicien de génie, aurait trouvé une façon de calculer la somme des nombres entiers de 1 à 100 très rapidement, à la grande surprise de son professeur. Function: view, la méthode de Gauss pour calculer la somme des n premiers entiers, analyse harmonique sur un groupe abélien fini, groupe multiplicatif de ses éléments non nuls, Analyse harmonique sur les groupes finis commutatifs, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Somme_de_Gauss&oldid=156620776. La somme de Gauss généralisée G(a, b, c) est définie par. =  prend exactement deux fois chaque valeur paire. n Cette seconde propriété possède le corollaire immédiat suivant : Si μ(a) désigne le symbole de Legendre (a/p) — égal à 1 si a est un carré dans Fp* et à –1 sinon — alors, pour tout caractère ψ non trivial. 2 {\displaystyle \psi (a)} {\displaystyle \mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z} } La somme de Gauss généralisée G(a, b, c) est définie par. nécessaire] On peut citer par exemple une démonstration de la loi de réciprocité quadratique. ( {\displaystyle \left({\frac {a}{c}}\right)} . {\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\left(1+\left({\frac {n}{p}}\right)\right)\zeta _{p}^{an}} G n Soient ψ le caractère additif tel que ψ(1) = ω, H le sous-groupe du groupe multiplicatif Fp* composé des résidus quadratiques de Fp*, P1 la somme des valeurs de ψ sur H et P2 la somme des valeurs de ψ sur le complémentaire de H dans Fp*. , ) La dernière modification de cette page a été faite le 30 juillet 2019 à 23:59. ) a n = G ( χ , ψ m ) = 1 χ ( m ) G ( χ , ψ ) . − , a En effet, il remarqua que, en additionnant les premier et dernier termes, on obtenait 101, de même qu'en additionnant le deuxième et l'avant dernier, le troisième et l'avant avant dernier et ainsi de suite. {\displaystyle an^{2}+bn{\bmod {c}}} Soit a, b et c des entiers naturels. n a est le symbole de Jacobi. Function: _error_handler, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php c Soit ψ un caractère du groupe additif (Fp, +) et χ un caractère du groupe multiplicatif (Fp*, ∙), alors la somme de Gauss associée à χ et ψ est le nombre complexe, ici noté G(χ, ψ) et défini par : En termes de transformée de Fourier, on peut considérer l'application qui à χ associe G(χ−1, ψ) comme la transformée de Fourier du prolongement de χ à Fp par l'égalité χ(0) = 0 et l'application qui à ψ associe G(χ−1, ψ) comme la transformée de Fourier de la restriction de ψ à Fp*. ≡ , Soient ψ le caractère additif tel que ψ(1) = ω, H le sous-groupe du groupe multiplicatif Fp* composé des résidus quadratiques de Fp*, P1 la somme des valeurs de ψ sur H et P2 la somme des valeurs de ψ sur le complémentaire de H dans Fp*. Puisque les deux membres sont égaux à 1 ou –1 et que 2 est inversible mod q, cette congruence est une égalité. + La formule du binôme de Newton et les diviseurs des coefficients binomiaux montrent que modulo q, Or la première des deux propriétés des sommes de Gauss montre que, et le corollaire de la seconde, joint aux propriétés du symbole de Legendre, que. Ici  G La somme de Gauss classique est la somme  Line: 68 n Function: _error_handler, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/page/index.php L'application de cette forme condensée de série à une utilité pratique en physique lorsque l'on souhaite simplifier l'expression de certains résultats. {\displaystyle G(a,b,2^{n})=0} {\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\right)} Notons τ = G(μ, ψ) et ω = ψ(1). = On obtient donc : 1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 ... 49 + 52 = 101 50 + 51 =101 Cela donne 50 som… {\displaystyle G(a,c)=G(a,0,c)} , 0 ) Somme de Gauss En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, une somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l' analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini ℤ/ p ℤ où p désigne un nombre … Function: _error_handler, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/views/user/popup_harry_book.php 1 Par le lemme de Hensel, pour tout q, l'équation  Elles ont été introduites par le mathématicien Carl Friedrich Gauss dans ses Disquisitiones arithmeticae, parues en 1801. ( Pour toute racine p-ième de l'unité ω différente de 1, avec p premier. . est pair pour tout  En théorie des nombres, une somme quadratique de Gauss est une certaine somme finie de racines de l'unité. ) Si c n'est pas sans facteur carré, alors le membre de droite s'annule mais pas celui de gauche. ≤ n {\displaystyle G(a,b,2^{n})=0} 2 Si b est impair, alors  < En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, une somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini ℤ/pℤ où p désigne un nombre premier impair et ℤ l'ensemble des entiers relatifs. a La loi s'exprime de la manière suivante si q est aussi un nombre premier impair, distinct de p : Soit ψ un caractère additif non trivial de Fp. c a n / Puisque les deux membres sont égaux à 1 ou –1 et que 2 est inversible mod q, cette congruence est une égalité. a au plus deux solutions dans SÉRIES DE GAUSS Les séries arithmétiques de Gauss sont l'expression de la somme de n premiers entiers non nuls élevés à une puissance donnée sous une forme condensée. Cette seconde propriété possède le corollaire immédiat suivant : Si μ(a) désigne le symbole de Legendre (a/p) — égal à 1 si a est un carré dans Fp* et à –1 sinon — alors, pour tout caractère ψ non trivial. + L'analyse harmonique permet de nombreux calculs sur les sommes de Gauss ; ce paragraphe propose quelques exemples. a En effet, la définition d'une somme de Gauss implique : G ( χ , ψ m ) = ∑ k ∈ F p ∗ χ ( k ) ψ ( m k ) . 0 χ En mathématiques, et plus précisément en arithmétique modulaire, une somme de Gauss est un nombre complexe dont la définition utilise les outils de l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini sur le corps fini ℤ/pℤ où p désigne un nombre premier impair et ℤ l'ensemble des entiers relatifs. q Function: view, File: /home/ah0ejbmyowku/public_html/application/controllers/Main.php b est un nombre tel que . Souvent, la somme de droite est aussi appelée une somme de Gauss quadratique. Line: 24 mod p )

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