fonction rationnelle pdf

5 0 obj 0000031267 00000 n 2 En mathématiques, une fonction rationnelle est un rapport de fonctions polynomiales à valeurs dans un ensemble K. En pratique, cet ensemble est généralement R 17 56 On pose f= P Q Alors fdé nie sur Ipar f(x) = P(x) Q(x) est appelée fonction rationnelle Exercice : 1. 0000010905 00000 n 0000001630 00000 n Fonction rationnelle Forme générale f(x) = avec cx+d ≠ 0 Fonction rationnelle transformée f(x) = avec b(x-h) ≠ 0 Transformation Pour passer de la forme rationnelle transformée à la forme générale, il suffit de mettre l’équation sous le même dénominateur. Variations des fonctions rationnelles Méthode : Étudier les variations d’une fonction rationnelle Justi er que f dé nie par f(x) = 0000002150 00000 n 0000020523 00000 n 1 %PDF-1.5 ÉTUDES DE FONCTIONS 37 7. 0000002292 00000 n 0000017455 00000 n Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) Exemple … L'approximant de Padé est un outil aussi utilisé en analyse complexe, par exemple pour l'étude de série divergente. avec b2 – 4ac < 0 dans le second cas. Une fonction rationnelle est une fonction qui est un rapport de deux polynoˆmes. ��߽���3�_,���˩�7��WB�+�%�h7甉%�������ūw/>�`�#:c��%���z����l���og�/޼��*c��Z�Θ$Bj��2^bgFK"���jN������>�–�DH���|� k Montrer que 1 P(X) = n å k=1 1 P0(a k) X a k 3.Décomposer 1 T n en éléments simples. 0000001719 00000 n ∞ La fraction rationnelle F = X4 −1 X3 −1 admet quant à elle −1, i et −i pour zéros et j et j2 pour pôles mais 1 n’est ni zéro, ni pôle de F. 1.5 Fonctions rationnelles Soit F = A B une fraction rationnelle non nulle mise sous forme irréductible. Définition Degré d'un polynôme Si dans l'écriture , on dit […] 0000016829 00000 n 0000003887 00000 n utile pour calculer une fonction dont la transform´ee de Laplace est une fraction rationnelle (utilisation fr´equente en automatisme). �0D@K�Ȓ����{aX�˖sJ�k��u���u�=��%eZ��Ӷ�9%��?b? l'anneau des polynômes en X, Y, …, T. Cet anneau sera aussi un domaine d'intégrité. ���z�{��u�[�O|��?��9ýc�{�V�b_� 3&$aZϖ��"���F�q=�q�Ӹ����cؒ�`Ʉ!��ْ,E��!�|]���~��v�>n�r���̀YM�p@�/���T۴�:��m|�zx +N��goK�)QL���p)�¤_�� ��TZ@���Ē�+�gK�t���$�Q:�b�8��6p��H+p�\���|�P�"_P:�S!�$>V��r 0��Gn�/1^���ξ[*������r9:��)��a_���jnĭ-�p�M`z�PJ,} �������#�q�z�,��4q���h"���8.�{__Z�%�`/4H�fʔ����`(���$(�d�o 0000014746 00000 n R ∞ {\displaystyle c \over (ax+b)^{k}} Zéros et tableaude signes. Une fonction qui n'est pas rationnelle est dite irrationnelle. a Parité. &m��uSy�̳w�2�`B��M\�TQ�y�z;��h���t���tku��˲�1�29E��Lɤ�b}�N�I�P��}�0�w~�ۺ6��z��$��Y3�!����BY:�hތ�K���C,T��HO����Q�{D�)���� IA���Bx'�� ��$�+��Ō�râ:z��>�(s2}����1��a!�J�(�/����u+���I�cULС�V�x|j"�s�}F�D�XuBRL�[�O������ �����\��M�qz�T�. 0000016955 00000 n Page 3/ 6 Etude de fonction 2 Étuded’unefonction rationnelle 1. f (x)= x (x −3)2 (x −2)2Formefactorisée : f (x)=x(x−3) 2 (x−2)2Le domaine de definition de festDf =R\{2}. ≥ L'identification des coefficients des séries (1 n'étant autre que la série 0000024891 00000 n endstream endobj 15 0 obj<. 0000001888 00000 n a %PDF-1.4 0000019707 00000 n x 0000008523 00000 n k <> ) k 0000003263 00000 n 0000000016 00000 n • Il est important de noter qu’une fonction rationnelle n’est pas un polynoˆme. 0000001416 00000 n = e est la composée d’une fonction rationnelle définie sur ˚ $2% et de la fonction cube définie et dérivable sur ˚ donc est dérivable sur ˚ $2% et * k 4 2 l[3k 2 2 l 12 2 2 f 0 Pour les limites, on utilise la limites des fonctions composées… Voici le détail pour la limite en ∞ : lim … Toute fonction rationnelle se décompose sous la forme de la somme d'un polynôme et de fractions dont les dénominateurs sont des puissances entières de polynômes premiers et dont le degré du numérateur est inférieur à celui dudit polynôme. , toute fonction rationnelle se décompose sous la forme de la somme d'une fonction polynomiale et de fonctions de types 0000004254 00000 n 0000018013 00000 n 0000022883 00000 n stream 0000001163 00000 n 0000010823 00000 n On note encore cette fonction F. Dé nition 2 Soit F= P Q 2K(X) sous forme irrductible.é Soit 2K. %���� + 0 + 0000003154 00000 n >> 0000008390 00000 n �R�g3��!�9nU*���T15[��5��`Ϩ��] a xref x ,��� �V¤�wp2�?��P����@=�8xɒ ���6)��iF*c�?�_���2t�{��:���u�w�kF������i�](Y? est définie pour tout x tel que �>/{\X;_��OծZ�ys + ) k %�쏢 0000002323 00000 n En mathématiques, une fonction rationnelle est un rapport de fonctions polynomiales à valeurs dans un ensemble K. En pratique, cet ensemble est généralement (ensemble des réels) ou (ensemble des complexes). 0000001969 00000 n 0000028504 00000 n Indication H Correction H [006972] 3 1 0000024100 00000 n 3 sur 4 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr II. ∑ Pour poser cette définition, on doit partir d'un domaine d'intégrité (anneau commutatif unitaire intègre) R puis construire. %�쏢 0000014082 00000 n 0000006389 00000 n cette fonction est définie pour tout nombre réel x mais elle ne l'est pas pour tous les nombres complexes. C x Étude de fonctions polynomiales. 0000005417 00000 n 0000023169 00000 n S��ij�:"�Z� ������g���{0�,�����8_��8!� ��#(8%���"��(��jL�/��k���@Ɣ�Vr��W����Il��%�7�o��� �r�)DF�3�^K ���`�O�ƹt`O}G��Y �kU��C���/ �l��%�k��>͂�Ũ�nn@ņ�k�M�5 �j")���Dz��f�dy����L�_;r��3���:�Y�� startxref Fonction rationnelle Forme générale f(x) = avec cx+d ≠ 0 Fonction rationnelle transformée f(x) = avec b(x-h) ≠ 0 Transformation Pour passer de la forme rationnelle transformée à la forme générale, il suffit de mettre l’équation sous le même dénominateur. ( 0000029433 00000 n {\displaystyle f={\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {Q} }}} Les fonctions rationnelles sont utilisées en analyse numérique pour faire l'interpolation et le lissage de fonctions. x��=˒$�qKY�����7uk�5x��aR�D�����0��%�1�c��_��O��?�)�Rg��PTuVwУ��� ��B&� �L �׬�b����f�n�F���r��7_�^�\#����o���Ξ�5`;�bM�:��o|ݲ�en}~���|�ݱ�i���;۝jlk���ݖ7LI�7���Dc��{۝n$W�o���m�Ak2���?��v'��Ģ�R��R���-���n~�a, �A ��Q 3����W���~�����sr͹�k��o^�^KL �(2���_Cl�:)׃mH�Ϟ�S:3�5"��ST7Vk��C�2�[�y��4N���v��T,��E��Fmj���|�UM���ͷ��-�c@�2��L?^��uP�֡ SDS 3 : Limites infinies, Limites pour x tendant vers l’infini et Limites de la forme . {\displaystyle \mathbb {R} } 0000026878 00000 n (ensemble des complexes). ∑ • Il est important de noter qu’une fonction rationnelle n’est pas un polynoˆme. Fonctions polynômes Définition Une fonction est une fonction polynôme si elle est définie sur et si on peut l'écrire sous la forme : Remarques par abus de langage, on dit parfois polynôme au lieu de fonction polynôme. 0000007524 00000 n 0000022617 00000 n ↦ 0000024527 00000 n ∀ ��x�t(ȩ�|3��^ xref {\displaystyle dx+e \over (ax^{2}+bx+c)^{k}} Le graphique d'une fonction rationnelle (situation inversement proportionnelle ou variation inverse) a deux asymptotes et sa règle s'écrit en forme canonique. Calcul de la pente de la tangente {\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{1-x}}} Exemple : … fraction rationnelle F= P Q, la fonction x7!F(x) = P(x) Q(x) dite fonction ationrnelle associée à Fet dé nie sur K privé des racines de Q. �7�`酛�o��-pW�Ԟ��p��[r)��G���G ��~��q\oL��u�R���S60M>ԧsp&�w���c�B����:�(�s�� �[��ͥ��"��1G�w�Ј�P�M: On note P l’ensemble de ses pôles. 0000029700 00000 n ��D�fM��Q��a��U��C[*�zo��.r�XD�xX��=ZްV`�G�wIqX!1��W6���#�6N���=���E�i.o��eg�JW��BT[�Ԙ�,R樕K�q�[S�w����G �b0���B�#,6�>�]cߪ�������Xt�z��X Autrement dit : Soit Iun intervalle réel et P, Qdeux fonctions polynomiales telles que 8x2I, Q(x) 6= 0 . {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}} Exemples : x 1 y−3 a2+b a−b x 4 x2 1 2 [A savoir] Fonctions rationnelles Définition On appelle fonction rationnelle une fonction réelle f de la forme f x = n x d x où n(x) et d(x) sont des fonctions polynomiales. Problème à mot d’une fonction rationnelle (table de valeurs et trace) Vidéo. ) fournit alors les relations. l�7v)���l,M|�.�HЖ�E��jt� ���(kl���W��7��їv��Rm�'��\ɇ��@�l�l\�:�WJ�4$N�PJ^�Z�>rsp��Va Ceci est également vrai pour les quotients de polynômes. 17 0 obj <> endobj Concavité et points d'inflexion f '' x = 6x x–1 4 s'annule en 0. . stream Si P et Q sont deux fonctions polynomiales et si Q n'est pas une fonction nulle, la fonction = est définie pour tout x tel que () ≠ par = () x Par exemple l’expression 4x3 −3x− 4 5x2 + x+1 est une fonction rationnelle puisque son num´erateur et son d´enominateur sont tous deux des polynoˆmes. k x endstream endobj 18 0 obj <. Par exemple l’expression 4x3 −3x− 4 5x2 + x+1 est une fonction rationnelle puisque son num´erateur et son d´enominateur sont tous deux des polynoˆmes. Vidéo Trouve l’Équation d’une fonction rationnelle avec un asymptote verticale et horizontal. 0 x %%EOF <<7DEEA71494B0A9479CB55262C8AE6E98>]>> , c'est-à-dire z 5 0 obj Exercice 17 Théorème Démontrer que la fonction rationnelle f = est une application si et seulement si Définition 6 f est dite fonction rationnelle … ( k�P����E�pg��}z�:�œ����ɛW����{�� ��on�b(޽y��?�96����_����G�!���W@z� � On dit que est un zéro ou une aciner de F si est une aciner de P. 0000019296 00000 n 0000010188 00000 n 0000002054 00000 n b implique que contrairement aux fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles n'ont pas un domaine de définition toujours égal à K. Les racines du polynôme Q sont appelées pôles de la fonction rationnelle. 14 0 obj <> endobj La concavité de f est donnée par le tableau suivant (dans la première ligne, on met les valeurs de x trouvées aux étapes 1 et 7) : x 0 1 f'' (x) – 0 + + f (x) 0 pt. 0000004670 00000 n x��ɒ�����`N"+�N�K�Xv9qI#W���!12�Hp��Q��y��6@��N�r@���۷:�0��/_��݋�|!������{�)M�3�8����mf�Ϳ���Ka�|S᧙�]p7ߟ�&�~O� + startxref 1 0000010641 00000 n + 2. 0000007749 00000 n {\displaystyle \mathrm {Q} (x)\neq 0} <> k 1 0000030595 00000 n 0000030915 00000 n �Lzs���6���l:k��|�A���z�O � �,$}X� ]-��n�X��HJz>��`��%�ߵ1�Q�ݣyʋ��N0 �CQ�"Y�'�|.��,�*����"!K�ڭJ�@����[pmM�Q��;�E���#mt���m�&g���̾��~�C����!��Qjpi�S�[|N��b���N ��)�>D`ِ!�YT���W��3|q�m�.|��%�m|��Ί���*D��КE2����V�HB=R���zn�R�RS������`�[�>��bGa,�iԋ�B�d���k=9�m`\�c�����+�t��E9,�,��8�^"��?�/I�� 5?F��6�œ�ԓQ?���!�(�yWG�d���>��AӾ����;��*���P��R�2ɯh�����ڛ4�2{r���aB f (−x)=f x)et f (−x)=−f (x):la fonction n’estni paire, ni impaire. x Vidéo. stream 0000018207 00000 n fonctions polynomiales. Th´eor`eme 1 Une fraction rationnelle irr´eductible est la somme de sa partie enti`ere et des parties principales relatives `a ses pˆoles. 1. Une technique souvent utilisée est celle de l'approximant de Padé. ou Définition7 L'ensembledes x de R ayantuneimageparunefonction rationnelle f s'appelle domaine de définiton de f , et se note Df. 0000019070 00000 n 0000001423 00000 n ( {\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }0.x^{k}} ��ǽ�JG���bp[�z��9�N���A���^���A���A���. ��1ĄD�ԦW��g`�}}����P��ea��ԕ}�P�z�ŏ׷����C͚�&��~������Ϟ����k�:�՚��>z��ڭ>��������5��m���c��=p���B��z)xhݩ�֋�C�֕��K���9�W�+3�� ��7j^��|�Z>�"�1V�R1�N(��8[B ��f"Tl� a ) Vidéo. 0000010948 00000 n 0000000016 00000 n En algèbre générale, on appelle fraction rationnelle un élément du corps des fractions d'un anneau de polynômes. 0000010705 00000 n 0000016427 00000 n 0000001724 00000 n Le malheur, c’est que ce cours ne vous apprendra pas ce qu’est une fraction rationnelle. 0000006968 00000 n 0000006185 00000 n 3. 0 0000021130 00000 n 0000001300 00000 n b Vidéo. 0000000916 00000 n Q 0000020729 00000 n L'approximant de Padé de la fonction exponentielle permet par exemple de montrer que si t est un nombre rationnel différent de 0, exp(t) est irrationnel. 0000029615 00000 n + Fonctions polynômes Page 3 sur 4 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Exercice 13 : I)-Soit le polynôme f (x) =x4 +3x3 −5x2 −13 x +6. 0000024360 00000 n %PDF-1.6 %���� 0000028711 00000 n b j;kڻ��Θ���3���N�u�&�΢(��/:��p���o�� Activité : Etudier une fonction rationnelle. 0000027233 00000 n 1 [A savoir] Fractions rationnelles Définition Une fraction rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. 0000029112 00000 n {\displaystyle c \over (az+b)^{k}} , Une fonction rationnelle est le quotient de fonctions polynomiales, le dénominateur ne s'annulant pas. Fonction rationnelle et fraction rationnelle, approximant de Padé de la fonction exponentielle, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fonction_rationnelle&oldid=156603059, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. Q trailer 0000014538 00000 n II)- On donne P(x) =x3 −7x2 +16 x −12 1°) Calculer P (2) et P(−2) \�� Z����::sx�A�Zp��X5T��v2����^�E� 7�v�A����AgT/ �F�� 0000031984 00000 n La dernière modification de cette page a été faite le 9 février 2019 à 17:35. SDS 4 : Asymptotes à la courbe représentative d’une fonction rationnelle. (ensemble des réels) ou = 0 14 31 c En … 0000014369 00000 n 1°) Calculer f (2) et f (−3) 2°) En déduire une factorisation de f (x)3°) Trouvez les zéros de f et leur ordre de multiplicité. Q 0000032130 00000 n Dans selon les recommandations des projets correspondants. = 0000013879 00000 n `"�TO�F��-��fW�N�w��W��� j� "Q_2u���C�:������M�������0�V|��gs�O��UX�U~���Q�z���b��8�4��)�}]j�-��KӆQ����(I&1�b��1���)H���ϑ����hB�AT��fp8L�Ȏ)oXk�Q��ޅG^E�Gϫ�T�. ��}9�kD��HZ����3�0�����9��A�W�ܝ�V%�n�^���L\|߈�f6(���o���&���j��ͣ��� ��N4[�� �ь����8�l���ƥДS��C�@e��)w�;x�Tj�Hp�{(V�/ �\F ��VZ�+Em���qd8���1U�2�� ��gv)EJz��ױ�EZ—!6�.��W����z�3)G�r��wN� e�w��=��.R��� 7�u��֤���&��p�����"���2>ٿ�R/cEJ9VG. %%EOF f 44 0 obj<>stream ) k n une fonction polynomiale de degré n. 2.Soit P(X)=l(X a 1) (X a n) un polynôme, où les a k sont deux à deux distincts et l 6=0. 0000001855 00000 n − 0000010765 00000 n P %PDF-1.4 <<101FB635A0B1414AABB6373BC33B0430>]>> {\displaystyle \forall k\geq 0,a_{k}=1} 1 x {\displaystyle \mathbb {C} } {\displaystyle \mathbb {R} } Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. ) 0 0000030400 00000 n SDS 1 : Domaine de définition d’une fonction rationnelle. = = 0000010435 00000 n %PDF-1.6 %���� 1 trailer k Powered by Create your own unique website with customizable templates. qui conduisent finalement à d'infl. Il est alors possible de construire le corps des fractions de cet ensemble appelé ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans R et d'indéterminées X, Y , …, T. Les coefficients de la série de Taylor d'une fonction rationnelle satisfont une relation de récurrence linéaire, que l'on peut expliciter par identification des coefficients de séries. k  : on a ainsi trouvé la série de Taylor de la fonction rationnelle Toute fonction polynomiale non nulle Q est acceptable mais la possibilité que pour un a donné, , toute fonction rationnelle se décompose sous la forme de la somme d'une fonction polynomiale et de fonctions de type 1 L�m�}�dj�\��H�N����� %@���T|���-�"h�`��,r��!��8�Zu4���(�|��#X��lo\�%��6s*�8�D�L���U*��C�xZ�&�ٻ�n3�oR���~)w���.����?g�xv�+ M�l_�;Q��o��ʌ��̕^T*9F 3 0000018293 00000 n 0000031499 00000 n {\displaystyle \mathrm {Q} (a)=0} les nombres s'appellent les coefficients du polynôme. ( ≠ 0000005362 00000 n 0000001918 00000 n La décomposition en éléments simples permet de faciliter le calcul d'intégrales. Une fonction rationnelle est une fonction qui est un rapport de deux polynoˆmes. 0000027663 00000 n . = 0000031839 00000 n Ξ���!E�8�ZA�����N�Fa�����t���/7=?� +#�h���?v�v�v C x {\displaystyle \mathbb {C} } a 3 0 obj << 0. Ici, c’est le concept abstrait de fraction rationnelle qui vient d’être défini; la notion de fonction rationnelle sera introduite un peu plus loin. /Length 4466 ���C�P#U�~���N���E�&TP��4Z�)�riqm�k��+���!YV���E�8��6��q1m� ;���)�V5WE 0000010526 00000 n x "���5�h�� #@j�)�7UA��9E�� �#�����DbtK�o/8BEk �/l� �.���X�֥�Y"8ЌɾҲ%��D��g��%�FK���E�=U���$Ԉ+��5Z͂Q> v�y�:��M��M�`�B-SÂ�4 Wo��f*�U�����#��u��*���z%:߾��c���6�iS��{�q��'C���7A�5C�Ŝ;���li�� SDS2 : Parité d’une fonction rationnelle. L'approximation est bien adaptée aux logiciels d'algèbre symbolique et de calculs numériques car tout comme les polynômes, elles peuvent être évaluées efficacement tout en étant plus expressives que ceux-ci. 0000027131 00000 n c Du point de vue mathématique, il faut distinguer le polynôme qui est d'abord une expression formelle et la fonction polynomiale sur un domaine donné. 0000009615 00000 n Vidéo. 72 0 obj <>stream /Filter /FlateDecode Résoudre la fonction rationnelle . Si P et Q sont deux fonctions polynomiales et si Q n'est pas une fonction nulle, la fonction par. ( Le dénominateur est 0 quand x = i et quand x = -i, où i est l'unité imaginaire. 0000002138 00000 n 0000029846 00000 n c 0 − d Exercice corrigé r0-01 Discuter, en fonction du paramètre réel m, le nombre de racines de l’équation \[x^3+2 x^2=8x+m\] Directive : Faire une étude complète la fonction \[ f(x) = x^3+2 x^2-8x\] puis discuter graphiquement le nombre de solutions de l’équation \[ f(x) = m \] . En pratique, dans

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