dérivée de la fonction zêta

a T σ O ( s ! k N J.-C.. Pour noter les emprunts au grec, les Romains utilisent « s » au début des mots et « ss » au milieu des mots : sōna pour ζώνη (« ceinture »), trapessita pour τραπεζίτης (« banquier »). À partir de la relation fonctionnelle, le module de la fonction est estimé dans chacune de ces régions. On retrouvera ces deux fonctions dans l'étude des zéros non triviaux de ζ. 2 1 Les conséquences de l'hypothèse de Riemann sont nombreuses. Huxley[31]. On appelle parfois cette formule produit eulérien. ) i 1 B ′ 1 On a en effet, Utilisant la formule des compléments et la relation fonctionnelle, on trouve pour t non nul, L'application de l'équation fonctionnelle et de la formule de Stirling, et le comportement asymptotique de sin(σ + it) permet de montrer que, On peut estimer, uniformément dans la bande critique, ζ(s) par la formule, De la méthode de Vinogradov-Korobov on déduit la majoration suivante : Une troisième formulation est la forme affaiblie : La forme généralisée implique la forme affaiblie. n ( | n'est pas modifié lorsqu'on divise ces coefficients par les n + s – 1) et de même, au voisinage d'un entier négatif – k, elle est la somme d'une fonction holomorphe et du terme ζ diverge grossièrement si σ ≤ 0, converge absolument si σ > 1 et diverge si t = 0 et σ ∈ ]0, 1]. 1 Il reste à développer le logarithme en série entière, ce qui est possible puisque p ≥ 2 et σ > 1. = Une première coupure est pratiquée entre –2 et 1 (qui est aussi un point de branchement bien que ζ ne s'y annule pas). La question de la position des zéros de la dérivée ζ' est liée également à l'hypothèse de Riemann. Cette formule est un cas particulier de l'égalité valide pour Re(s) > 1 + max (0, 2Re(a)) avec x ) λ ( ( k Il s'agit de la fonction de von Mangoldt. On a alors les estimations suivantes : Le nombre de zéros de ξ(s) est le même que celui de ζ(s) dans le rectangle défini par les sommets opposés 0 et 1 + iT, soit N(T). 3 n n = s {\displaystyle {\mathbf {1} }_{Q}} D'un autre côté, la communauté mathématique croit en l'hypothèse de Riemann, aussi a-t-on cherché les conséquences de l'hypothèse de Riemann en prévision de sa démonstration. C d φ {\displaystyle {\frac {(N+1)^{1-\sigma }}{\sqrt {(1-\sigma )^{2}+t^{2}}}}} k σ L'hypothèse de Riemann affirme qu'ils sont tous de partie réelle 1/2.   ( , d'où on déduit la somme des séries : », « L'hypothèse de Riemann est équivalente à l'absence de zéro non trivial de la dérivée ζ' dans le demi-plan σ < 1/2. Ces zéros se traduisent par une infinité de zéros de ζ dans la bande Re(s) ∈]0, 1[. x , puisque est paire. … Il est donc important de connaître le comportement de la fonction sur l'axe Re(s) = 1. s s On sait que μ(1/2) ≤ 32/205 ≈ 0,156098 d'après M.N. ∈ Ici, Γ désigne la fonction gamma. ∑ 8 ζ Le théorème de Phragmén-Lindelöf[30] implique que la fonction μ est une fonction convexe décroissante de σ. mais on ignore la valeur exacte de μ(σ) pour 0 < σ < 1. {\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)} 1 Au voisinage de 2 ∗ ν , En l'appliquant à la fonction ζ, on trouve immédiatement, pour σ > 1. 1 k = = est la transformation de Mellin[13] de la fonction s s Elle n'a donc aucun zéro dans le demi-plan Re(s) = σ > 1. 1 + On a la formule intégrale, classique depuis Euler, valide si Re(s) > 1 : où Γ désigne la fonction gamma, ce qui (par changement de variable) équivaut à : On peut voir cette formule comme un cas particulier d'une transformation générale aux séries de Dirichlet[12]. {\displaystyle \ln \zeta (\sigma +\mathrm {i} t)=O{\Big (}(\ln t)^{\alpha }{\Big )}} μ + σ J.-C., le Z est réintroduit dans l'alphabet latin pour représenter plus fidèlement le son du zêta grec ; la lettre latine prend alors la forme que la lettre grecque a obtenue entre-temps. », « L'hypothèse de Riemann implique que ζ''(s) et ζ'''(s) ne s'annulent pas dans la bande 0 < Re(s) < 1/2. n , on a. 2 n Cela réalise ainsi le prolongement de la fonction ζ sur Re(s) > 0, sauf pour. ) ) Le premier terme vaut aussi On en déduit que la série génératrice des ζ(2k) pour k ≥ 0 est donnée par : Par exemple, on a : k σ . Mais on ignore encore la valeur de ν(σ) pour tout σ ∈ ]1/2, 1[. La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des nombres premiers. − Q et  : pour Re(s) ∈ ]0, 1[. n 1 Cependant, la conjecture généralisée de Mertens, qui s'exprime sous la forme. Les propriétés statistiques des zéros non triviaux continuent d'être l'objet d'intenses recherches, tant numériques qu'analytiques, ainsi que d'interprétations probabilistes[41],[42]. ) s n s ] − On sait seulement que 0 ≤ δ ≤ 1. = La relation fonctionnelle fournit les zéros réels et également l’ordre de ces zéros : ils sont simples. = ζ Par l'intermédiaire de la fonction ζ de Riemann, on a développé une méthode de régularisation des suites divergentes qui a trouvé des applications en physique, notamment dans l'effet Casimir. ( D'après le théorème du prolongement analytique, elle représente le prolongement (sauf en s = 1) de la fonction ζ. En appliquant à nouveau la formule, on prolonge à Re(s) > –1, et ainsi de suite. ) Comme la région importante est la bande critique 0 ≤ Re(s) ≤ 1, il est important de pouvoir traverser cette bande. M }}=\sum _{n=0}^{\infty }2\zeta {(2n)}{\frac {x^{2n}}{(2\pi )^{2n}}},\,|x|<2\pi .}. d u ( ( ( 0 Il existe donc une infinité de zéros dans la bande critique mais, actuellement, on ne sait pas exactement où. ( k ! Donc dans chaque partie la variation de l'argument de ζ(s) n'excède pas π. et ainsi la variation totale de l'argument est inférieure à (q + 3/2)π. Il reste à évaluer q. 1 4 2 Γ = s 1 {\displaystyle \zeta (0)=-{\frac {1}{2}}} 1 − On a en effet (γ = 0,577… est la constante d'Euler-Mascheroni). n u Q 2 De la définition de la fonction zêta par une intégrale sur ℝ+, on a déduit[22] que pour tout entier naturel n, ζ(–n) est le nombre rationnel suivant : Si n est pair mais non nul, le nombre de Bernoulli Bn + 1 est nul, d'où, avec n = 2k et k > 0 : C'est cette relation que Ramanujan écrivit en 1910 dans un article du Journal of the Indian Mathematical Society sous la forme[23] : La fonction ζ étant réelle sur l'axe réel et plus grande que 1, le logarithme de cette valeur existe et est réel. = En mathématiques, la fonction zêta de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. = = + π ∗ 2 0 Remarque. La théorie de la fonction M est très obscure et cela probablement pour longtemps. n 1 puisque la fonction de Liouville vérifie l'égalité n ∞ Taches et rayures des animaux : quelle fonction ? + {\displaystyle \sum _{k}} . } ∞  : demi-droite dont les points ont pour argument 0, décrite de +∞ à ν. L'équivalent + d Dans sa thèse soutenue en 1914, Georges Valiron a montré qu'il existait une infinité de valeurs de t dans tout intervalle [T, T + 1] pour lesquelles on avait la minoration. À la différence d'une majorité de l'alphabet grec, le terme « zêta » ne provient pas du nom de la lettre phénicienne dont elle dérive : la lettre grecque reçoit son nom du motif bêta, êta et thêta. ) En étrusque, on suppose que Z représente le son /ts/. 1 Pendant la Renaissance, les imprimeurs adoptent la forme minuscule pour les polices bas-de-casse, et modèlent les lettres capitales sur les formes des anciennes inscriptions, conduisant le grec à devenir bicaméral. , les arguments étant définis par variation continue sur le chemin ( n n et en partant de la valeur 2 )   n σ Ses valeurs satisfont à l'inégalité. ( 1 C = 1 De la relation fonctionnelle, on déduit que, pour s différent de 0 et de 1 : La fonction ξ définie pour s différent de 0 et de 1 par. + = . ) par : avec ∞ ∗ = ln 1 puisque k Cette page contient des caractères spéciaux ou non latins. Pour les séries de Dirichlet de ln ζ et 1 / ζ, l'application de la deuxième formule de Perron montre qu'elles convergent sur l'axe Re(s) = 1 en dehors de s = 1, tandis que la série de Dirichlet de ζ' / ζ. Pour les complexes s autres que 1 tels que Re(s) ≤ 1, la définition du logarithme de ζ(s) est plus délicate. n Par la relation fonctionnelle, il apparaît que la fonction ζ s'annule pour tous les entiers de la forme –2k, (k > 0) par suite du facteur = ) u t , elle est égale, à une constante près, à Néanmoins, cette équation aux valeurs propres suggère un lien avec un problème de mécanique quantique non relativiste qui est précisé dans le paragraphe suivant. On a donc cherché à étendre ces formules pour σ ≤ 1. ( et 1 ↦ L'estimation de ζ dans la partie Re(s) < 0 montre que la fonction t ↦ ζ(σ + it) est d'ordre fini : elle est majorée par une puissance de t = Im(s). σ Cette hypothèse, formulée dès 1859 par Bernhard Riemann, a de très grandes conséquences dans le comportement asymptotique de nombreuses fonctions arithmétiques qui se trouvent liées à ζ. Les conséquences sur le comportement de la fonction ζ sont nombreuses. La majuscule Ζ possède les codages suivants : La minuscule ζ possède les codages suivants : Le tableau suivant recense les différents caractères Unicode utilisant le zêta: Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. t If your method does not solve the problem, change the problem. { a ν 1  : demi-droite dont les points ont pour argument 2π, décrite de ν à +∞. u 2 et 1 d ( En koinè, la lettre note /z/. La série ne converge pas en s = 1 car on a. qui tend vers l'infini avec m (voir l'article détaillé « Série harmonique » pour d'autres démonstrations de ce résultat, et une estimation plus précise de la valeur des sommes partielles). des nombres premiers. − 6 | (sur l'axe réel), on a, ζ {\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{x}{\frac {\mu (n)}{n}}\right|<{\frac {K}{\ln x}}} k Dans les recherches sur S(T), on a réussi à avoir quelques précisions supplémentaires sur le comportement de S(T) qui reste mystérieux : dont on déduit que la moyenne de S(T) est égale à zéro. 1 ⁡ ζ On en donne quelques-unes dans ce qui suit. ∫ 2 ζ s et puisque h est holomorphe sur tout le plan ce qui implique le prolongement de la fonction ζ en fonction méromorphe dans ℂ. Utilisant la formule sommatoire d'Abel, on trouve pour Re(s) > 1. + 2 Littlewood a démontré le théorème, « Ou bien la fonction ζ ou bien la fonction ζ' a une infinité de zéros dans la bande 1 – δ < σ < 1, δ étant une quantité positive arbitrairement petite. La fonction ζ ayant une infinité de zéros, ln ζ admet une infinité de points de branchement. n }}={\frac {1}{1-s}}{1-s \choose k+1}\sum _{n=2}^{\infty }n^{1-s-(k+1)}} En grec moderne, la lettre zêta représente la consonne fricative alvéolaire voisée [z]. s D L'objectif est alors devenu plus modeste : démontrer une partie de l'hypothèse de Riemann. B + σ n ). La lettre zêta tire son origine de la lettre correspondante de l'alphabet phénicien, . Le lien entre la fonction ζ et les nombres premiers avait déjà été établi par Leonhard Euler avec la formule, valable pour Re(s) > 1 : où le produit infini est étendu à l'ensemble s La formule de Stirling complexe donne alors, On connaît relativement peu de chose sur S(T) sans aucune hypothèse. Donc πN(T) est égal à la variation d'argument entre 2 et 2 + iT et de 2 + iT à 1/2 + iT le long des droites. I ) − Si Re(ζ(s)) s'annule q fois entre 2 + iT et 1/2 + iT, cet intervalle est divisé en q + 1 parties à travers lesquelles Re(ζ(s)) ne prend qu'un signe, soit + soit –. Par le principe de prolongement holomorphe, on a donc. Le développement en série de Laurent de la fonction ζ(s) s'écrit donc. {\displaystyle \sum } C 1 . = Les propriétés statistiques des zéros non triviaux de la fonction ζ ressemblent asymptotiquement à celles des valeurs propres de matrices aléatoires de l'ensemble gaussien unitaire pour les systèmes non-invariants par renversement du temps (GUE). On peut se limiter à considérer dans un premier temps s = σ réel. Dans la bande critique, il en existe une infinité. t = < − = L'hypothèse de Riemann entraine que l'on a δ = 0 dans le théorème de Valiron. δ Puis on étudie les zéros. π 1 D'autre part, les zéros ρ sont comptés autant de fois que leur multiplicité dans ces sommes. ζ . 1 1 La majuscule de la lettre zêta n'est généralement pas utilisée comme symbole car son rendu est le plus souvent identique à la capitale Z latine. ∑ où le produit s'effectue sur les zéros non-triviaux ρ de ζ et γ est la constante d'Euler-Mascheroni. où 2 2 Pour cela, on remarque que la fonction. x 2 − 0 − La formule intégrale est valable pour Re(s) > 1. ( ∫ σ i pour 0 < α < 1, la quantité μk(α) étant l'équivalent de la fonction μ de ζ pour la fonction ζk. Par contre, on ignore si l'hypothèse de Lindelöf, qui a comme on vient de voir une influence sur la position des zéros, implique ou non l'hypothèse de Riemann. = ∑ », La conjecture de Lindelöf est l'assertion que pour tout ε > 0. + 1 On appelle traditionnellement μ(σ) la borne inférieure des exposants μ tels que |ζ(σ + it)| ≪ tμ. n x v s ⁡ x La fonction ζ de Riemann est une fonction analytique complexe méromorphe définie, pour tout nombre complexe s tel que Re(s) > 1, par la série de Riemann : D'après la théorie des séries de Dirichlet[note 1], on déduit que la fonction ainsi définie est analytique sur son domaine de convergence. 2 , donne la « valeur principale de Cauchy de la fonction » en 1 : La fonction ζ satisfait à l'équation fonctionnelle : valable pour tout nombre complexe s différent de 0 et 1, démontrée par Riemann en 1859. il existe deux constantes c et C strictement positives telles que pour tout σ ∈ [1/2 ; 1] et t > 3, on ait. J.-C.. Sa 7e lettre est une consonne (l'alphabet phénicien est un abjad qui ne note pas les voyelles) correspondant probablement au son [z] ou [dz]. ∗ ( {\displaystyle (1+{\frac {1}{n}})^{1-s}=\sum _{k=0}^{\infty }{1-s \choose k}n^{-k}} {\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}}}=0} Il a été démontré que l'axe Re(s) = 1/2 en avait une infinité, dont les 2/5 au moins sont simples. | x v Elle ne dit rien sur la multiplicité des zéros. Elle se traduit en disant que la fonction et 1 ) π I Cette formule est un cas particulier de l'égalité valide pour Re(s) > k + 1 avec On déduit, pour Re(s) > 0, sous réserve de ce qui a été dit pour le prolongement par la fonction êta de Dirichlet pour les points s = 1 + 2ikπ/ln(2), l'expression intégrale : Dans les formules précédentes, il est à remarquer que le prolongement ne s'obtient que dans une portion du plan et qu'il faut utiliser la relation fonctionnelle pour avoir un prolongement au plan tout entier. 2 ) s On part de la formule intégrale résultant de la formule sommatoire d'Abel (attention la borne inférieure est prise à 0, non à 1). s μ C Cela a entre autres pour conséquence immédiate que μ(1/2) = 0. J.-C., elle semblerait noter soit /zd/ ou /dz/ et il n'existe aucun consensus sur la question. d b Cette position est due à l'ancienne existence du digamma, une lettre archaïque originellement située entre l'epsilon et le zêta, qui a disparu de l'alphabet grec mais perdure dans la numération grecque. ) / , d Premiers travaux sur la fonction zêta par Euler et Riemann, Valeurs numériques particulières utilisées en physique, Développements en série de Dirichlet en lien avec quelques fonctions arithmétiques, Lien avec la répartition des nombres premiers, Que devient la série de Riemann sur l'axe, Par la formule de Landau ou celle de Ramaswami, Développement de Laurent au voisinage de 1, Présentation élémentaire pour les nombres complexes du demi-plan Re(, Inégalité de Ahsan, Lam-Estrada, Lopez-Bonilla et Lopez-Vazquez, Estimation de la fonction dans les diverses régions du plan, Représentation sous forme de produit de facteurs primaires (produit de Hadamard), Expressions de ζ'/ζ en fonction des zéros triviaux et non triviaux, La bande critique et l'hypothèse de Riemann, Conséquences de l'hypothèse de Riemann sur la croissance de la fonction zêta, L'hypothèse de Riemann et les zéros de la dérivée, L'hypothèse de Lindelöf et l'hypothèse de densité, Propriétés statistiques des zéros non triviaux et chaos quantique, Développement en série entière de ln Γ(1+, Fonction de comptage des nombres premiers et théorème des nombres premiers, Cette valeur est utilisée pour calculer la température critique d'un, Cette constante apparaît quand on intègre la, La constante de Stefan-Boltzman en dimension, Les séries de Dirichlet sont une généralisation des séries de Riemann avec un numérateur différent de 1 et qui forme une suite indicée par, Pour une généralisation de cette section aux, Il existe d'autres démonstrations : on peut par exemple montrer que la série est en fait convergente pour, Ou la redémontrer directement par la même méthode qui, dans le cas particulier des. 2 ( + 1 Ceci a conduit le physicien théoricien Michael Berry à conjecturer que les parties imaginaires Ek des zéros non triviaux pouvaient s'interpréter comme les valeurs propres d'un opérateur hamiltonien décrivant un système quantique non relativiste qui serait classiquement chaotique, et dont les orbites classiques ne possèdent pas la symétrie de renversement du temps[36],[37],[38]. ⁡ − μ n 1 d Il est donc naturel de choisir, parmi l'infinité des définitions possibles du logarithme d'une fonction analytique, celle qui prolonge le logarithme naturel sur la demi-droite ]1, +∞[. , de sorte que la série précédente converge également pour s = 1, vers 0 : Ce résultat, conjecturé par Euler, avait déjà été démontré par von Mangoldt en 1897[8]. s En faisant tendre N vers l'infini et en restant dans le demi-plan Re(s) > 1, on en déduit pour tout entier n = 1, 2, 3… que. La forme actuelle de la lettre provient de l'alphabet utilisé en Ionie, qui est progressivement adopté par le reste du monde grec antique (Athènes passe un décret formel pour son adoption officielle en 403 av. Cette formule montre alors, sans l'hypothèse de Riemann, Avec l'hypothèse de Riemann, la sommation peut être considérablement diminuée. ∑ + (

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