démonstration somme inverse carrés

[12] ». | Si un nombre donné est divisé par le plus grand quarré qui le mesure et que le quotient se trouve mesuré par un nombre premier moindre de l’unité qu’un multiple du quaternaire, le nombre donné n’est ni quarré, ni composé de deux quarrés […] J’ai démontré ensuite […] : Si un nombre est composé de deux quarrés premiers entre eux, je dis qu’il ne peut être divisé par aucun nombre premier moindre de l’unité qu’un multiple du quaternaire[19]. Il découvre que de multiples configurations, maintenant dénommées anneaux euclidiens, bénéficient des mêmes propriétés et donc d'une arithmétique analogue. Leonhard Euler s'est intéressé au théorème des deux carrés, comme à beaucoup d'autres résultats de théorie des nombres laissés par Fermat[28], et on lui doit les premières preuves connues de ces énoncés. Fermat est tout particulièrement conscient de cette difficulté : dans un défi mathématique aux mathématiciens d'Europe, en 1657, il déclare : « À peine trouve-t-on qui pose des problèmes purement arithmétiques, ni qui les comprenne. Euler caractérisera de même par la suite les nombres premiers divisant un entier de la forme a2 + 2b2, ou de la forme a2 + 3b2, avec a et b premiers entre eux (voir infra). Aucune preuve rédigée par lui de ce théorème n'a subsisté, et la stratégie qu'il dit avoir employée (montrer — comment ? Dans une longue missive à Mersenne[21] datée du jour de Noël 1640, Fermat énonce ses fondements pour résoudre tous les problèmes liés aux sommes de carrés. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Il s’inscrit dans la longue histoire de la représentation de nombres comme sommes de carrés qui remonte à l'Antiquité. 2 d3) le nombre de diviseurs (pas nécessairement premiers) de n congrus à 1 (resp. Démonstration. Un autre constat élémentaire est le suivant : Cette propriété provient du fait que la division d'un carré par 4 ne peut donner pour reste qu'une des deux valeurs 0 ou 1. k , ce qui est impossible d'après le point précédent. {\displaystyle 4kc^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}} ». Comme une telle suite n'existe pas, il est démontré qu'une hypothèse est fausse. ce qui prouve que |A| ≥ |B|. Il conjecture dans ce contexte un résultat appelé à devenir une des lois centrales de la théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique, sans pouvoir le démontrer[31]. On montre de même que |C| ≥ |B|. Soient d = pgcd(a, b), a' = a/d, b' = b/d, n' = a' 2 + b' 2 = n/d2 et p un nombre premier congru à 3 modulo 4. L'une au moins de ces valeurs est donc non multiple de p, ce qui termine la démonstration[52]. Ce livre est un assemblage de 24 articles sur Euler pour. Les mathématiques se sont professionnalisées partout en Europe et des journaux réguliers, en particulier les publications des diverses Académies des sciences, offrent la possibilité de publier au fur et à mesure résultats et preuves. L'interprétation géométrique des nombres entiers, à la base des preuves euclidiennes, est très lourde. Par exemple, 5 = (±2)2 + (±1)2 = (±1)2 + (±2)2 admet 8 représentations comme somme de deux carrés. Z Y participent des noms restés plus ou moins célèbres comme Étienne et Blaise Pascal, René Descartes, Bernard Frénicle de Bessy, Gilles Personne de Roberval ou encore Pierre de Carcavi, bibliothécaire du roi. 4 Une fois ce résultat établi, Euler, ayant enfin réussi à démontrer que tout nombre premier p de la forme 4n + 1 divise une somme de deux carrés premiers entre eux (voir supra), en déduit que p est une somme de deux carrés[49]. ∈ Les nombres premiers non congrus à 3 modulo 4 sont tous sommes de deux carrés. L'adjonction d'une géométrie euclidienne à la question des deux carrés est d'un incontestable apport. En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c'est-à-dire de deux carrés d’entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l’être. Quatre autres livres ont été retrouvés dans une version arabe vers 1970, cf. Le lemme de Thue, qui n'a été démontré qu'au début du XXe siècle mais utilise simplement le principe des tiroirs de Dirichlet, permet de prouver que pour tout nombre premier p ≠ 2, la condition « –1 est un carré modulo p », identifiée plus haut (§ « Gauss et ses entiers » et « Fermat et son petit théorème ») comme équivalente à p ≡ 1 (mod 4) et nécessaire pour que p soit somme de deux carrés, est également suffisante[62]. Joseph-Louis Lagrange intègre les résultats tant théoriques que numériques d'Euler et les étend, dans un long mémoire en deux parties, intitulé Recherches d'arithmétique[34] ». Et le double de chascun d'iceux. + Chacun des progrès, conséquence de l'œuvre de ces différents savants, permet de résoudre quelques cas supplémentaires[pas clair][45]. En revanche, 45 = 32×5 est somme de carrés, car 3 intervient à la puissance 2 (on trouve bien que 45 = 62 + 32). D'autres comme 3 ou 7 ne vérifient pas cette propriété. Un entier de la forme 4 k – 1 n'est jamais somme de deux carrés de rationnels. J'ai donc pris le tableur pour conjecturer une limite l de la suite (aide: ) et je conjecture (à tâtons ) que Voici le graphe que j'obtiens ( somme des 1/k² en bleu et ²/6 en rouge ) Je n'ai aucune idée pour la démonstration. L'intérêt pour les sommes de carrés remonte à l’Antiquité : on trouve de telles sommes dans des tablettes en cunéiforme du début du IIe millénaire avant notre ère et deux lemmes ajoutés au théorème X.28 dans les Éléments d'Euclide expliquent comment construire des carrés parfaits dont la somme ou la différence forment encore des carrés parfaits, ou au contraire comment ne pas obtenir un carré en sommant deux carrés[5]. En 1801, Carl Friedrich Gauss publie un livre d'arithmétique novateur[40]. Et si a et b sont premiers entre eux, alors a2 + b2 n'a aucun facteur premier de la forme 4k – 1. On peut de plus remarquer que si, Plus précisément, cet ouvrage reprend la preuve de, Plus généralement, un entier positif est de la forme, En 1759, Euler utilise encore sa méthode des différences finies comme dans, il y a une infinité de nombres premiers dans chacune des deux classes, théorème des deux carrés dans le cas général, pour qu'un entier positif soit somme de deux carrés, corollaire par Lagrange de son théorème « de Wilson », première loi complémentaire de la loi de réciprocité quadratique, Application du lemme de Thue aux sommes de deux carrés, lemme qui permit à Euler de démontrer ce théorème, cas particulier de la loi de réciprocité quadratique, ce devoir corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres », Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, Lagrangian reduction for binary quadratic forms, Why was this visual proof missed for 400 years? La logique suivie consiste à étudier les nombres à l'aide d'une démarche structurelle. 2 En utilisant le plus grand de ces nombres, 1 848, Euler montre par exemple que 18 518 809 (= 1972 + 18 480 000) est premier. k On peut le vérifier sur 17 (= 4 × 4 + 1) ou 97 (= 24 × 4 + 1), qui sont bien tous deux d’une seule façon une somme de deux carrés (17 = 12 + 42 et 97 = 92 + 42), alors que des nombres premiers comme 7 (= 4 × 1 + 3) ou 31 (= 4 × 7 + 3) ne sont pas des sommes de deux carrés. En effet, soit a = 2m + e un entier, avec e égal à 0 ou 1 (selon la parité de a), alors e2, qui vaut 0 ou 1, est le reste de la division par 4 de a2 = 4(m2 + me) + e2.Si n est une somme de trois carrés a2 = 4M + e, b2 = 4N + f, c2 = 4O + g, avec e, f et g égaux chacun à 0 ou 1, alors e + f + g, qui vaut 0, 1, 2 ou 3, est le reste de la division par 4 de n = 4(M + N + O) + e + f + g. Si ce reste est nul, e = f = g = 0. avec = , Glossaire. En particulier, la décomposition est unique lorsque m est égal à 1 ou 2, c'est-à-dire lorsque n ne possède aucun facteur premier de la forme 4k + 1, ou alors un seul et avec exposant 1. De plus, l'implication de cette proposition, restreinte aux nombres premiers, est en fait une équivalence : Un nombre premier p ≠ 2 divise (au moins) une somme de deux carrés premiers entre eux si (et seulement si) p est de la forme 4n + 1. II. Ainsi 30 = 2×3×5 n’est pas somme de carrés car dans sa décomposition en facteurs premiers, 3 intervient avec un exposant 1. Or le produit d'un nombre pair de facteurs de la forme 4k + 3 est de la forme 4k + 1, donc cette dernière ligne ne contient que des nombres qui ont un nombre impair de facteurs premiers de la forme 4k + 3. Il montre aussi qu'un diviseur d'une somme de deux carrés premiers entre eux est encore de somme de deux carrés (et donc s'il est premier, c'est soit 2, soit un entier de la forme 4n + 1) ; ce résultat s'étend au cas de m = 2 ou 3 (on trouve qu'un diviseur impair premier est congru à 1 ou 3 modulo 8 pour m = 2 et à 1 modulo 3 pour m = 3) ; dans ces derniers cas, la preuve inverse repose aussi sur des identités de puissances k-ièmes et le petit théorème de Fermat. entiers, que l'on peut, en les divisant simultanément par 2 autant de fois que possible, rendre non tous trois pairs. Le livre est technique et couvre dans son intégralité la question du titre, une bonne référence pour aller plus loin. Une autre expression équivalente du nombre de décompositions a été donnée par Charles Gustave Jacob Jacobi[3] : Théorème des deux carrés (compléments)[4] — Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et r2(n) le nombre de représentations de n comme somme de deux carrés. {\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} \quad |B|\leq |2Ak+B|,} En revanche, le théorème traité n'est pas celui de l'article, même si les outils utilisés sont analogues. En 1654, à la fin d'une lettre à Pascal[68], Fermat conjecture que pour tout nombre premier p : Les réciproques sont immédiates, par des raisonnements « à la Diophante ». Lagrange montre enfin comment, dans chaque classe de formes équivalentes, trouver des formes représentantes particulièrement simples : pour un discriminant négatif, il peut définir une forme représentante unique (dite forme réduite) par classe et pour un discriminant positif, la caractérisation des formes réduites fait appel à son étude sur l'équation (2) ci-dessus et aux fractions continues[37]. Alors qu'il publie, en 1625, la traduction par Simon Stevin des livres de Diophante, Girard annonce sans preuve, dans ses annotations[11], que les nombres s'exprimant comme somme de deux carrés d'entiers sont, « I. Tout nombre quarré. La première partie de la démonstration d'Euler, présentée ici, utilise la méthode de descente infinie de Fermat. De telles formes seront appelées « équivalentes » par Gauss quelques décennies plus tard et l'exploration de cette relation entre formes quadratiques par Lagrange constitue l'une des premières études connues d'une relation d'équivalence. Si l'énoncé est un bien collectif pour ces mathématiciens, il n'en est pas de même de la démonstration. La difficulté ici consiste à appliquer cette méthode pour démontrer un résultat positif : l'existence de solution[26]. {\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}} Le cas général[pas clair] n'est finalement résolu qu'à la dernière année du siècle grâce à la touche finale de David Hilbert[46]. Par exemple, selon ce théorème, un nombre premier impair (c'est-à-dire tous les nombres premiers sauf 2) est une somme de deux carrés parfaits si et seulement si le reste de sa division euclidienne par 4 est 1 ; dans ce cas, les carrés sont déterminés de manière unique. Un contexte important est l'étude des triangles rectangles en nombres, ou triplets pythagoriciens, c'est-à-dire des nombres vérifiant a2 + b2 = c2 : en effet, si les côtés a, b, c sont premiers entre eux, c lui-même s'écrit comme une somme de carrés. Cette référence est l'une des plus citées comme introduction à la théorie algébrique des nombres. Lettre du 25 décembre 1640 de Fermat à Mersenne. Pour résoudre toutes ces questions, Diophante introduit une « quantité indéterminée d’unités » qu’il appelle « arithme » et exprime en fonction d’elle toutes les données du problème (c’est donc un ancêtre de la notion d’inconnue en algèbre). Soit Pn l'unique polynôme tel que. On constate que la quatrième ligne ne contient pas de solution. Comme p est premier et strictement supérieur à 2n, il n'est pas diviseur de (2n)!. 2, 3, 5 … Somme des inverses des carrés. La somme des inverses des carrés vaut pi 2 /6 si ma mémoire est bonne et je pense que je sais le démontrer en partant d'un signal, en faisant la série de Fourier et en donnant une valeur à la variable. Un test systématique jusqu'à 40 montre que : En revanche, 3, 7, 11, 19, 23 et 31 ne se décomposent pas ainsi. (Voir aussi le corollaire par Lagrange de son théorème « de Wilson », la première loi complémentaire de la loi de réciprocité quadratique, ou E552.). Une question naturelle est d'identifier également les entiers positifs qui divisent une somme de deux carrés premiers entre eux, c'est-à-dire (voir supra) les entiers modulo lesquels –1 est un carré, donc (§ « Lagrange et les formes quadratiques » ou § « Lemme de Thue ») les entiers égaux à une somme de deux carrés premiers entre eux. Ces énoncés sont tous deux équivalents au « seulement si » du théorème des deux carrés dans le cas général. + Avant la fin du siècle, il introduit un symbole portant maintenant son nom permettant d'exprimer plus simplement la loi de réciprocité quadratique, qu'il croit démontrer[39]. Exemple : Racine carrée de l'inverse d'un nombre strictement positif : La racine carrée de l'inverse d'un nombre strictement positif est l'inverse de la … Parmi ces formes r, choisissons-en une pour laquelle |B| est minimum. Ce critère permet à Euler de montrer que le 5e nombre de Fermat, 225 + 1, n'est pas premier car il s'écrit de deux manières comme somme de carrés : Il élabore même une méthode de factorisation à partir d'une telle double écriture. ≤ Si ces ensembles disposent toujours d'une addition et d'une multiplication conférant une structure d'anneau, plus la valeur n augmente plus elle devient complexe. En particulier, il redécouvre dans Diophante[15] (Arithmetica, III, 19) une identité remarquable prouvant que le produit de deux sommes de deux carrés est une somme de deux carrés, de deux façons différentes ; plus précisément, en notation algébrique actuelle : Cette identité est fondamentale pour passer du cas des nombres premiers au cas général. Elle ouvre cependant plus de questions qu'elle n'en résout. Or, il existe peu (voire pas du tout) de modèles de telles preuves d'existence dans un contexte arithmétique. Ce résultat est élémentaire, mais en août 1640, reprenant contact avec Roberval après une interruption de leur correspondance, Fermat va plus loin : « Voici ce que j’ai découvert depuis sur le sujet de la proposition 12 du cinquième Livre de Diophante […[18]]. tels que. {\displaystyle 4k-1} SOMME des NOMBRES. D'après le théorème de Lagrange appliqué à (a, b, c) = (1, 0, 1), il s'écrit donc Au2 + Buv + Cv2 = p (> 0) avec B2 – 4AC = –4 < 0 (donc A, C > 0) et –4 ≤ B2 – 4B2. A b ». Euler accumule aussi toutes sortes d'expérimentations numériques. Les deux nombres a et c sont évidemment représentés de manière primitive (c'est-à-dire avec des entiers x, y premiers entre eux) par la forme quadratique ax2 + bxy + cy2 donc par toute forme équivalente. On en déduit que B2 est pair et ≤ 4/3, donc B = 0 et A = C = 1, si bien que p = u2 + v2[60]. Tout produit de puissances paires d'entiers est un carré, La suite de la démonstration est identique à celle de Dedekind (, Un entier strictement positif est somme de deux carrés, Une somme de deux carrés premiers entre eux n'a aucun facteur premier de la forme 4, Réciproquement, –1 est un carré modulo 2 et modulo tout nombre premier de la forme 4. ». {\displaystyle x,y} U On le démontre bien plus directement en raisonnant dans, Über die Theorie der relativquadratischen Zahlkörper, Euler démontre dès 1742 l'énoncé équivalent : une somme de deux carrés, « la plupart des théorèmes de Fermat pourront être prouvés de la même manière », Cette partie de la démonstration figure déjà dans la, Le calcul fait apparaître naturellement l'identité de Diophante. {\displaystyle a=uV,b=vU,c=UV} Une telle expression est appelée une forme quadratique binaire[35] (c'est-à-dire une forme quadratique à deux variables). = Si une somme de trois carrés est divisible par 4 alors les trois carrés le sont : Cette propriété provient du fait que la division d'un carré par 4 ne peut donner pour reste qu'une des deux valeurs 0 ou 1. c Outre son chapitre VI dédié aux sommes de deux carrés, ce volume 2 traite largement Diophante au chapitre II. Le plan, qui dispose déjà d'une addition, d'un produit externe par un élément de ℤ et d'une forme quadratique, est en plus équipé d'une multiplication interne. En particulier, p ne divise pas n'. Par conséquent, il est pair. ». Le théorème fournit un critère général permettant de discriminer ces deux situations : Théorème des deux carrés de Fermat (cas des nombres premiers) — Un nombre premier impair p est somme de deux carrés parfaits si et seulement si p est un nombre premier de Pythagore[1], c'est-à-dire congru à 1 modulo 4 : De plus, cette décomposition est alors unique, à l'échange près de x2 et y2. D'une part, elle donne lieu à de vastes synthèses théoriques, unifiant de nombreuses questions jusqu'alors éparses. « j'ay négligé de poursuivre a l'expliquer touchant les fractions après l'avoir expliqué touchant les entiers, a cause qu'il m'a semblé trop facile pour prendre la peine de l'escrire […]. Une interprétation visuelle élémentaire de cette preuve a également été proposée[65]. Son exposant dans n est donc le même que dans d2. p En effet, un calcul élémentaire permet de vérifier d'une part que ces deux applications sont bien des involutions de S (si bien que la parité du nombre de points fixes de chacune d'elles est la même que celle du nombre |S| d'éléments de S) et d'autre part que la première a un unique point fixe (le triplet (1, 1, k), où k est l'entier tel que p = 4k + 1). a {\displaystyle c} Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il y fallut joindre par nécessité[26]. En ce qui concerne le théorème des deux carrés, Euler montre d'abord qu'un nombre premier p = 4n – 1 ne divise pas une somme de deux carrés premiers entre eux, a2 + b2, en appliquant le petit théorème de Fermat. Le dénombrement des solutions, une fois l'identité de Diophante connue, est un exercice de combinatoire que plusieurs auteurs, comme Frenicle, mènent aussi à bien. Notons m ce diviseur, mn = aα2 + bαγ + cγ2, et β, δ entiers tels que αδ – βγ = 1. Le théorème sur les sommes de carrés figure aussi dans les fameuses observations que Fermat a écrites en marge de l'édition de Bachet des Arithmétiques de Diophante, observations qu'on connaît par la version posthume publiée par son fils en 1670[22]. , 2 La troisième partie concerne les sommes de deux carrés. Ce nouveau cadre structurel permet de démontrer le théorème en quelques lignes. Le point (a, b) de coordonnées entières est identifié au complexe a + bi. Il contient des démonstrations de tous les résultats de l'article. Parmi les autres démonstrations figurent notamment celle utilisant le théorème de Minkowski sur les ensembles convexes[47] et celle en une phrase de Don Zagier, fondée sur les involutions. k En revanche, la rédaction choisie utilise le formalisme moderne : ainsi, la présentation des résultats de Diophante est très éloignée de la forme géométrique présente dans les textes originaux. », Autrement dit, en termes plus modernes : si l'on écrit un nombre n sous la forme d2n' avec n' sans facteur carré et que n' est divisible par un nombre premier de la forme 4k – 1, alors n n'est pas une somme de deux carrés[20]. La dernière modification de cette page a été faite le 30 juin 2020 à 15:43. c Quatorze ans plus tard, bien après la mort de Mersenne, on voit réapparaître ces énoncés dans un projet d'ouvrage que Fermat adresse à Blaise Pascal, puis en 1658 au cours d'un échange avec les mathématiciens anglais, John Wallis et William Brouncker, et un an plus tard, dans un bilan sur la théorie des nombres destinée au jeune Christian Huygens. On y trouve par exemple une analyse précise du contenu mathématiques que le formalisme antique rend complexe. Les travaux de Gauss influencent les mathématiciens du siècle. Diophante, Cette série de cinq volumes s'adresse aux. Ce résultat est parfois nommé simplement théorème des deux carrés ou bien encore théorème de Fermat de Noël. Dans ses travaux de théorie des nombres, Bachet s'inscrit dans la tradition de l'analyse diophantienne entière : il donne de nouveaux exemples numériques en entiers et surtout, des preuves à la mode euclidienne de nombreuses propositions[14]. La première publiée, encore due à Euler[49], est, chronologiquement, le « dernier maillon » de sa preuve du théorème des deux carrés. N'est ce pas parce que jusqu'ici l'arithmétique a été traité géométriquement plutôt qu'arithmétiquement[24] ? B Les Arithmétiques[6], composées à une date incertaine, contiennent des problèmes dont les solutions cherchées sont rationnelles ou entières. Soit p un nombre premier congru à 1 modulo 4. Si p est un nombre premier congru à 1 modulo 4, l'objectif est de montrer l'existence d'un entier de Gauss z tel que N(z) = p. Il existe deux entiers relatifs m et q tels que m2 + 1 = pq, autrement dit : Cette égalité prouve que p n'est pas premier comme entier de Gauss, puisqu'il ne divise ni m + i, ni m – i, le nombre complexe (m/p) ± (1/p)i n'étant pas un entier de Gauss. Une condition nécessaire pour que p soit somme de deux carrés est donc qu'il divise une somme de deux carrés premiers entre eux. a u Ses étapes préparatoires à ce lemme sont : Dans ses lettres à Goldbach, Euler note ». k Fermat y ajoute bientôt le problème de la construction même des carrés. 1 SOMMES de 1 à n . , Le théorème des deux carrés concerne la forme quadratique x2 + y2, c'est-à-dire celle pour laquelle a = c = 1 et b = 0. Ces deux conjectures sont pour la première fois démontrés par Euler, en 1759 et, pour le cas p ≡ 3 mod 8, 1772[71]. Bien peu d'outils restent disponibles pour attaquer le cas général. La forme quadratique est maintenant interprétée comme une norme. Le coefficient de UV dans r(U + kV, V) est égal à 2Ak + B donc La norme dispose d'un double avantage pour le théorème des deux carrés : la question posée s'exprime sous une forme simple N(z) = p et la norme, qui à un entier de Gauss associe un entier positif, est multiplicative, c'est-à-dire : (cet avatar de l'identité de Diophante peut se redémontrer en utilisant que la conjugaison est elle-même multiplicative). Dans ces conditions, Bonjour, Je dois calculer . Mais pource qu'il [Fermat] dit que cela mesme que j'ay omis comme trop aysé, est très difficile, j'en ay voulu faire l'espreuve en la personne du jeune Gillot […] ce qu'il a fait fort aysement. Or : Si un entier positif divise une somme de deux carrés premiers entre eux, alors il n'est pas de la forme 4n – 1. La même méthode lui permettra de montrer, par exemple[56], que si a et b sont premiers entre eux, un nombre premier de la forme 8n – 1 ou 8n – 3 ne peut pas diviser a2 + 2b2 (car il serait alors lui-même de cette forme, ce qui est impossible, par un raisonnement « à la Diophante ») et « un ami » (peut-être Lexell[57]) lui fera remarquer qu'elle montre de même[58] qu'un nombre premier de la forme 8n ± 3 ne peut pas diviser a2 – 2b2. En particulier, Q2n(1) = (2n)!. Pn(cotan(t)^2)=sin((2n+1)t)/sin(t)^(2n+1) (Pour le calculer, utiliser la formule de Moivre pour développer sin((2n+1)t) … C’est bien sûr le cas de 2 (= 12 + 12) ; de même, 5 est la somme de 1 et de 4. On va même imposer de plus b = 1[50]. La dernière équation généralise celle associée au théorème des deux carrés (cas où m est égal à 1). 2 L'énoncé complet du théorème et des applications figurent dans une observation au livre III, un cas particulier au livre V, près du problème 12 de Diophante mentionné plusieurs fois. — que s'il existe un premier de la forme 4n + 1 non somme de deux carrés alors il en existe un autre strictement plus petit puis, par descente infinie, en déduire — curieusement, au lieu de conclure immédiatement — que 5 ne serait alors pas somme de deux carrés[26]) n'a été concrétisée par aucun de ses successeurs. Euler trouve une méthode astucieuse ; il établit d'abord le lemme suivant[53] en utilisant la descente infinie : Si un entier n > 0 est somme de deux carrés premiers entre eux, alors tout diviseur de n est somme de deux carrés. Sa démonstration ne clôt pas les interrogations. Plusieurs mentions pertinentes pour la détermination des nombres sommes de deux carrés apparaissent de manière dispersée dans divers problèmes. Le petit théorème de Fermat montre que si a et b sont deux entiers compris entre 1 et p – 1, alors ap–1 – bp–1 est un multiple de p, ou encore, en notant n l'entier (strictement positif) tel que p = 4n + 1 : (a2n – b2n)(a2n + b2n) est un multiple de p. Comme p est premier, l'un des deux facteurs est un multiple de p. Il suffit de trouver, entre 1 et p – 1, deux entiers a et b premiers entre eux tels que a2n – b2n n'est pas un multiple de p : alors, (an)2 + (bn)2 sera un multiple de p de la forme voulue. Pour comparer deux nombres positifs, on compare leurs carrés : La racine carrée du produit de deux nombres positifs est égale au produit des racines carrées. À titre d'exemples, le problème 11 du livre II est le suivant : « Ajouter un même nombre à deux nombres donnés de manière que chacun d'eux forme un carré », ou encore le problème 22 du livre IV : « Trouver trois nombres tels que le nombre solide issu de ces nombres [autrement dit, le produit de ces trois nombres], augmenté de chacun d’eux, forme un carré[7]. Plus généralement (cf. Cette condition indique que la transformation est inversible. b c Si, dans un premier temps, les entiers de 1 à 50 sont écrits sur quatre lignes en fonction du reste de leur division par quatre, on obtient : Les entiers notés en vert sont ceux qui peuvent s'écrire comme la somme de deux carrés parfaits, les entiers pour lesquels une telle écriture est impossible sont notés en rouge. Considérons alors la forme R(X, Y) := mX2 + b'XY + nc' Y2, de discriminant b' 2 – 4mnc' = b' 2 – 4a'c' = b2 – 4ac. La question du nombre de paires de carrés dont la somme est égale à un entier n donné, est aussi plus difficile ; ce nombre dépend des exposants des facteurs de n de la forme 4k + 1. Ces résultats offrent des démonstrations plus simples du théorème des deux carrés[41], permettent de prouver la loi de réciprocité quadratique[42] et étendent la classification des formes quadratiques de Lagrange[43].

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